Buzené kmity
Matematický dodatek

Pružinový oscilátor je charakterizován tuhostí pružiny k, hmotností závaží m a koeficientem tlumení b. (b je konstanta úměrnosti mezi brzdnou silou a rychlostí)
Pohyb buzení, který rozkmitává horní část pružiny, popíšeme rovnicí: yB   =   AB cos (wt),
kde yB je okamžitá výchylka horního konce pružiny oproti klidové poloze, AB je amplituda budícího kmitání, w je úhlová frekvence buzení a t je čas.

Naším úkolem je vyjádřit výraz pro velikost okamžité výchylky buzeného pružinového oscilátoru y v závislosti na čase. Užitím vztahu w0   =   (k/m)1/2 popíšeme tento problém následující diferenciální rovnicí:

y''(t)   =   w02 (AB cos (wt) – y(t))   –   b y'(t)
Počáteční podmínky:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Jestliže chcete řešit tuto difrenciální rovnici, musíte rozlišit mezi několika případy:

Případ 1: b < 2 w0
 
Případ 1.1: b < 2 w0; b¹ 0 or w ¹ w0

y(t)   =   Aabs sin (wt) + Ael cos (wt)   +   e–bt/2 [A1 sin (w1t) + B1 cos (w1t)]
w1   =   (w02 – b2/4)1/2
Aabs   =   AB w02 b w / [(w02 – w2)2 + b2 w2]
Ael   =   AB w02 (w02 – w2) / [(w02 – w2)2 + b2 w2]
A1   =   – (Aabs w + (b/2) Ael) / w1
B1   =   – Ael

Případ 1.2: b < 2 w0; b = 0 and w = w0

y(t)   =   (AB w t / 2) sin (wt)

Případ 2: b = 2 w0

y(t)   =   Aabs sin (wt) + Ael cos (wt)   +   e–bt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AB w02 b w / (w02 + w2)2
Ael   =   AB w02 (w02 – w2) / (w02 + w2)2
A1   =   – (Aabs w + (b/2) Ael)
B1   =   – Ael

Případ 3: b > 2 w0

y(t)   =   Aabs sin (wt) + Ael cos (wt)   +   e–bt/2 [A1 sinh (w1t) + B1 cosh (w1t)]
w1   =   (b2/4 – w02)1/2
Aabs   =   AB w02 b w / [(w02 – w2)2 + b2 w2]
Ael   =   AB w02 (w02 – w2) / [(w02 – w2)2 + b2 w2]
A1   =   – (Aabs w + (b/2) Ael) / w1
B1   =   – Ael

 
 

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14cz/resmath_cz.htm
© Walter Fendt, September 9, 1998
© Překlad do češtiny: Miroslav Panoš, Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy
Last modification: December 1, 2005

back Zpět na hlavní stránku