Zpět na hlavní stránkuZáporně nabitý elektron je přitahován ke kladně nabitému jádru. Aby se udržel na stabilním orbitu, musí toho jádro obíhat. V takovém případě je síla elektrostatická síla silou dostředivou.
|
m v2 r |
= | e2 4 p e0 r2 |
m .... hmotnost elektronu
v .... rychlost elektronu
r .... poloměr orbitu
e .... velikost elementárního náboje
e0 ... permitivita vakua
Nicméně, povolené poloměry orbitu jsou jen ty, pro které je moment hybnosti celočíselným násobkem h/2p.
Bohrova kvantová podmínka:
|
r ... poloměr orbitalu
m ... hmotnost elektronu
v ... rychlost elektronu
n ... hlavní kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)
h ... Planckova konstanta
Bohrova kvantovací podmínka říká, že přijmeme-li myšlenku de Brogliho hmotné vlny, pak elektronu odpovídá vlnění s vlnovou délkou l = h / (m v). Pro existenci stojaté vlny okolo jádra je nezbytné, aby obvod orbitu byl celočíselným násobkem vlnové délky. Tedy dostáváme 2 p r = h / (m v), což potvrzuje předchozí kvantovou podmínku.
Řešením druhé rovnice a dosazením výsledku do první dostaneme následující výsledek pro povolené (možné) poloměry:
Poloměry orbitů pro hlavní kvantové číslo n:
|
h .... Planckova konstanta
e0 ... permitivita vakua
m .... hmotnost elektronu
e .... velikost elementárního náboje
n .... hlavní kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)
Užitím vztahu E = Epot + Ekin = - e2 / (4 p e0 r) + (m / 2) v2, dostaneme:
Energie vodíkového atomu ve stavu popsaném hlavním kvantovým číslem n:
|
m .... hmotnost elektronu
e .... elementární náboj
e0 ... permitivita vakua
h .... Planckova konstanta
n .... hlavní kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)
Přesně řečeno je nutné ještě udělat malou opravu tohoto vzorce. Hmotnost jádra je jistě mnohonásobně větší než hmotnost elektronu, ale nikoliv ne nekonečně. Takže elektrony společně s jádrem obíhají okolo společného hmotného středu, který není zcela identický se středem atomu. Jestliže toto vezmeme v úvahu, musíme nahradit hmotnost elektronu (m) takzvanou redukovanou hmotností (m'), kterou získáme dle následujícího vzorce:
Redukovaná hmotnost elektronu:
|
m .... hmotnost elektronu
mj ... hmotnost jádra
URL: http://www.walter-fendt.de/ph14cz/bohrmath_cz.htm
© Walter Fendt, May 29, 1999
© Překlad do češtiny: Miroslav Panoš, Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy
Last modification: December 3, 2005