Pro výpočet objemu polokoule o poloměru r (v apletu vlevo nahoře) použijeme "náhradní" těleso (vpravo nahoře), u kterého je výpočet objemu jednodušší: Zde se jedná o rotační válec s poloměrem podstavy r a výškou také r, ze kterého je vyjmut rotační kužel také s poloměrem podstavy r a výškou r.
Lze nyní ukázat, že polokoule a "náhradní" těleso mají stejný objem. Představme si, že obě tělesa řízneme rovinou rovnoběžnou s podstavou tělěsa. V případě polokoule vznikne jako plocha řezu kružnice (zelená), v případě "náhradního" tělesa mezikruží (oranžové). Vzdálenost h roviny řezu od roviny podstavy je v každém případě hodnota mezi 0 a r. Pomocí pohybu myši (se stisknutým tlačítkem) lze v apletu tuto vzdálenosti h měnit. V dolní části jsou pak viděl obě plochu řezu ve skutečné velikosti.
Známe-li r a h, dokážeme obě plochy řezu vypočítat.
Obsah zelené plochy řezu nejdříve vyjádříme S1 = s2p. Nyní si uvědomíme, že trojúhelník vlevo nahoře v apletu je pravoúhlý. Dosazením do Pythagorovy věty s2 + h2 = r2, dostáváme s2 = r2 - h2. Z toho tedy plyne, že obsah zelené plochy je S1 = (r2 - h2) p.
Ještě jednodušší je výpočet oranžově vyznačené plochy řezu: Vezme si obsah vnější kruhové plochy bez obsahu vnitřní kruhové plochy a tím dostaneme S2 = r2p - h2p = (r2 - h2) p.
Obsahy obou ploch řezu se shodují a to pro každou hodnotu h mezi 0 a r. Podle Cavalieriho principu se musí tedy také shodovat i objemy obou těles - polokoule a "náhradního" tělesa.
Vpolokoule = V"náhr." těleso = VVálec - VKužel = r2p · r - (1/3) r2p · r = (2/3) r3p
Jestliže chceme vypočítat objem celé koule, je nutné tento výsledek ještě zdvojnásobit.
Definitivní vzorec tedy zní:
| Objem koule s poloměrem r: |
|
|
|
| Matematické aplety |
URL: www.walter-fendt.de/m14cz/kugelvolumen_cz.htm
© Walter Fendt, 4. September 2000
© Překlad do češtiny: Miroslav Panoš, Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy
Poslední změna: 14. března 2006